নিঃসঙ্গ রাজপুত্র

           

লোকটা পাগলের মতো বোর্ডে মাথা গুজে লিখে যাচ্ছে। কৌতুহল, উত্তেজনা ছড়িয়ে পড়েছে তার শরীর ও মনে। এমন সময় দরজার ওপাশ থেকে ভয়ে ভয়ে তার সহকারী ডাকলেন, "স্যার, আপনার স্ত্রী মৃত্যু শয্যায়। আপনি একটু তার শেষ সময়ে তার পাশে গিয়ে বসেন। তাকে বিদায় দেন।"

তখন লোকটা বললো, "তুমি কি ওকে আর কিছুক্ষণ ওয়েট করতে বলতে পারবে?"

কি মারাত্মক কথা!  তার স্ত্রী শয্যাশায়ী অথচ তার কোন ভাবনা নেই! এই লোক হলো গণিতের রাজপুত্র কার্ল ফ্রেডরিক গাউস। তিনি গণিতের প্রতি এতোটাই আসক্ত ছিলেন যে, অন্য কোনকিছু তাকে ভাবায় নি। তিনি সর্বকালের সেরা গণিতবীদদের একজন! 

ছোট্ট শিশু গাউস

গাউসের গণিতের অসাধারণ প্রতিভা তার ছোটবেলা থেকেই ফুটে ওঠে। গাউসের বয়স তখন ৩। সে বাবার সামনে বসে আছে আর তার বাবা বিরাট একটা হিসাব করে যাচ্ছে। হিসাব শেষে তো গাউসের বাবার চোখ মুখ লাল হয়ে গেল, হিসাব কিছুতেই মিলছে না। তখন ছোট্ট গাউস তার বাবাকে বললো– বাবা বাবা, তুমি তো এখানে ভূল করেছো। এটা তো এমন হবে না। একটা পিচ্চি যে তিন বছর থাকা অবস্থায় ভালো মতো সবকিছু বুঝে ওঠে নি সে কিনা একটা হিসাব নিমষেই মিলিয়ে ফেলল!

একদিন গাউস ক্লাসে বসে দুষ্টুমি করছে। তার স্যার বার্টনার চরম বিরক্ত হয়ে গেলেন। তিনি গাউসকে ডেকে বললেন, এই তুই ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সবগুলো সংখ্যা যোগ করে নিয়ে আয়। 

বার্টনার সাহেব এতোক্ষণ ক্লাস নিতে থাকলেন। পাঁচ মিনিট না যেতেই বার্টনার সাহেব দেখলেন গাউস আবারও দুষ্টুমি করছে। 

তিনি আবারও গাউসকে ডেকে বললেন, এই তোকে না অঙ্ক করতে দিয়েছি, করেছিস?

গাউস বললো, জ্বি স্যার।

খাতা নিয়ে আয়, খাতা দেখি। 

খাতা দেখার পর বার্টনার সাহেব পুরো অবাক হয়ে গেলেন। এইছেলে দেখি ঠিকই যোগ করে ফেলেছে। আর উত্তরও লেখা ৫০৫০! কিন্তু এতো অল্প সময়ে কিভাবে এই কাজ করলো গাউস?

গাউস যেই পদ্ধতিতে এই সমস্যা সমাধান করেন তা এতোটাই সুন্দর যে, গণিতে সমান্তর ধারার যোগফল, স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল বের করতে এখনো সেই পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়।*পরিশিষ্ট   গাউস কিভাবে সমাধান করলেঃ 

১+২+৩+......৯৮+৯৯+১০০

পুরো ধারাটা তো এমন। এখন গাউস যদি এক যোগ দুই যোগ তিন যোগ…. এভাবে করে যেতেন তাহলে তার অনেক সময় লেগে যেত আর কষ্টও হতো অনেক। তাই এই যোগফলটা বের করার জন্য তিনি সামনে থেকে প্রথম সংখ্যা ১ আর উল্ট দিক থেকে প্রথম সংখ্যা ১০০ যোগ করলেন। পাওয়া গেল ১০১। আবার সামনে থেকে দ্বিতীয় সংখ্যা ২ আর উল্ট দিক থেকে দ্বিতীয় সংখ্যা ৯৯ যোগ করলেন পেলেন ১০১। এভাবে জোড়া জোড়া করে যোগ করলে তিনি নতুন একটা রাশি পান সেটা হলো ১০১+১০১+১০১+...১০১ এমন করে ৫০টা ১০১ যোগ করলে তিনি ১+২+৩+....+৯৯+১০০ এর যোগফল পেয়ে যাবেন। একটা সংখ্যা যখন বারবার যোগ হয় তখন সেটাকে গুণের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। যেমন ২+২+২ মানে হলো ৩×২। তাই গাউস ঐ ৫০ টা ১০১ কে আলাদাভাবে যোগ না করে তিনি ১০১ এর সাথে ৫০ গুণ করে দেন। পান ৫০৫০। এই গুণ করাটাও অনেক সহজ। তিনি প্রথমে ১০০ দিয়ে ৫০ কে গুণ দিলেন পেলেন ৫০০০। তারপর ১ কে ৫০ দিয়ে গুণ করলেন পেলেন ৫০। যেহেতু ১০০+১=১০১। তাই গাউস ১০০×৫০=৫০০০ এর সাথে ৫০×১=৫০ যোগ করে দিলেন পেলেন ৫০৫০ {৫০(১০০+১)} বা (৫০০০+৫০)। 

এখন একটা প্রশ্ন কিন্তু থেকেই যায়! গাউস কেন এই রাস্তায় হাঁটলেন, অন্য রাস্তায় কেন না? গাউস যেটা চেয়েছেন সংখ্যাগুলোর মধ্যে এমনভাবে সম্পর্ক করতে যাতে প্রতিটা জোড়ায় মান সমান হয়।  যোগ এর ক্ষেত্রে ২+৩+৫ যে কথা ৫+২+৩ একই কথা। এখন এভাবে যদি বড়ো যোগ করতে দেওয়া হয় তাহলে পুরোটা যোগ করা অনেক সময়ের আর পরিশ্রমের ব্যাপার (গণিতের প্রাথমিক যুগে গণিতবীদদের এমন অনেক কষ্ট করতে হয়েছে)। তাই যদি বুদ্ধি করে সবকটাকে একত্রে যোগ না করে যদি এমনভাবে যোগ করা যায় যাতে সবগুলো ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র যোগফলের(জোড়া জোড়া আকারে) মান একই হয় তাহলে কিন্তু খুব সহজে গুণের মাধ্যমে হিসাব করা যায়। গাউস সেটাই করেছেন। যদি জোড়াগুলোর মান ভিন্ন হতো তাহলে কিন্তু এই পদ্ধতি কাজ করতো না। আর গাউসের এই চিন্তার মাধ্যমে গণিতের আরেকটা সুন্দর বিষয়ের পরিচয় পাওয়া যায় সেটা হলো "সংখ্যাতত্ত্ব"! সেই ছোট্টবেলায় গাউসের চিন্তায় সংখ্যাতত্ত্বের পরিচয় পাওয়া যায় এটা কোনো সাধারণ বিষয় না!

ব্যক্তিগত জীবনে গাউস

ছোটবেলা থেকেই গাউস ছিলেন অসম্ভব মেধাবী। সেই মেধার পরিচয় আমরা একটু আগেই পেয়েছি। কিন্তু গাউসের এই মেধা তার বাবাকে ছুঁয়ে যেতে পারে নি। তার বাবা ছিল অশিক্ষিত শ্রমিক, মালি আর ফোরম্যান। তার কথা-বার্তাও ছিল নিন্মশ্রেণীর আর অমার্জিত। অনেক বিশেষজ্ঞ ভাবেন, গাউসের বাবা যদি তার ছেলের মেধা সম্পর্কে জানতো তাহলে সে সেটা বাজারজাত করার চেষ্টা করতো।

কিন্তু গাউসের মা ছিলেন অসম্ভব বুদ্ধিমতি মহিলা, তিনি তার জীবনের শেষ সময় পর্যন্ত তার ছেলেকে সমর্থন করেছেন আর উৎসাহ জুগিয়েছেন। 

গাউস প্রাথমিক শিক্ষা শেষ করে মাধ্যমিকে ভর্তি হবেন, কিন্তু তার বাবা কোনোভাবেই ছেলের পিছনে টাকা খরচ করতে রাজি নন। তাই তার মা অনেক অনুনয় বিনয় করে গাউসকে স্কুলে পাঠালেন। ১৪ বছর বয়সে গাউস বৃত্তি প্রাপ্ত হলেন, যার কারণে সহজেই নিজের পড়াশোনা চালিয়ে যেতে পারলেন। 

ছোট বেলা থেকেই গাউস এক ধরনের শূন্যতা অনুভব করতেন। তিনি যেভাবে গণিতকে আনন্দ নিয়ে দেখতেন সেই আনন্দ কারো সাথে ভাগ করে নিতে পারতেন না। তাই তিনি যখন গটিনজেন বিশ্ববিদ্যালয়ের ছাত্র হিসেবে আসলেন, তখন গণিতের বিভিন্ন জার্নাল থিওরেমগুলো আরো ভালো করে অনুভব করার সুযোগ পেলেন। কিন্তু এখানেও তাকে হতাশ হতে হলো। এখানকার শিক্ষকদের পড়াশোনা বা গণিত নিয়ে কোনো ভাবান্তর নেই। সবাই কেমন যেন উদাস। তবুও গাউস গণিত নিয়ে ভাবতে থাকলেন। এমন ভাবে তিনি হাজার বছরের এক গাণিতিক সমস্যার সমাধান বের করে ফেললেন। চারদিকে তার নাম ছড়িয়ে পড়লো। তিনি এই সমস্যার সমাধান করে তার এক শিক্ষকের কাছে যান তার সমাধান দেখানোর জন্য –

গাউসঃ স্যার, আমি রুলার আর কম্পাস দিয়ে একটা সম-সতেরোভুজ আঁকতে পেরেছি!

শিক্ষকঃ এখন আমি কি করতে পারি?

শিক্ষকের এই কথা শুনে গাউস ধাক্কা খেলেন, আবারও বললেন-

"স্যার, এটা হাজার বছর ধরে অনেকে আঁকার চেষ্টা করেছেন। কিন্তু পারেন নি, আমি পেরেছি।"

"ভালো, আর কিছু বলার আছে তোমার?"

শিক্ষকের এমন উদাসিনতা দেখে গাউস ভেঙে পড়লেন। এরপর তিনি তার জীবনের বাকি কাজগুলো একাই করে গিয়েছেন। অন্য কারো সাহায্যও নেন নি! 

গাউসের জীবন কর্ম 

গাউস ছাত্র অবস্থাতেই বহু থিওরেম আবিষ্কার করেন। এর মধ্যে বেশিরভাগই পূর্বে আবিষ্কার হওয়া, তিনি সেগুলো পুনরায় আবিষ্কার করেন। ১৮০১ সালে তিনি এলজেবরার চারটি থিওরেমের প্রমাণ করেন আর তার ডক্টরেট ডিগ্রি অর্জন করেন।গাউস তার প্রাইম নাম্বার সূত্রটি বলার প্রায় একশ বছর পর গণিতবীদরা তার প্রমাণ করতে পেরেছেন। ডক্টরেট ডিগ্রি শেষে গাউসের কাজ শুরু হয় নতুন উদ্যোমে।

গাউস তখন গটিজেনের শিক্ষক হিসেবে যোগ দিবেন। কর্তৃপক্ষ তাকে গণিতের শিক্ষক হিসেবে নিয়োগ দিতে বললে, তিনি নাকোচ করে দেন। এর কারণ হিসেবে তিনি বলেন, গণিতের ছাত্রদের রীতিমতো জোর করে পড়ানো লাগে। এর চেয়ে জ্যোতিঃবিজ্ঞান পড়ানো অনেক আনন্দের!

১৮০১ সালে জ্যোতিঃবিদরা একটা গ্রহাণুকে আবিষ্কার করে আবার হারিয়ে ফেলেন। অনেক চেষ্টা করেও তারা খুঁজে পেলেন না। তখন গাউস গ্রহাণুর কক্ষপথকে গোল কল্পনা না করে উপবৃত্তাকার কল্পনা করে সহজেই খুজে ফেলেন হারিয়ে যাওয়া গ্রহাণু। আর পদার্থবিজ্ঞান, গণিতের সাথে জ্যোতির্বিজ্ঞানেও তার নাম ছড়িয়ে পড়ে। 

গাউস তার সারা জীবনটা কাটিয়ে দিয়েছেন গটিনজেনে, দুই একবার কাজের স্বার্থে এর বাহিরে গিয়েছেন। যে মানুষটা তার পুরো জীবনটা সহজ করে কাটিয়ে দিতে চেয়েছেন। সেই মানুষটা ব্যক্তিগত জীবনে ছিলেন নিঃসঙ্গ আর দুঃখী। তার প্রথম স্ত্রীর সাথে থাকাকালীন তিনি ভীষণ আনন্দেই দিন কাটাচ্ছিলেন। কিন্তু সেই আনন্দ দীর্ঘ হয় নি। তার তৃতীয় সন্তান জন্মের সময় তিনি মারা যান। তারপর আবার বিয়ে করলেও তিনি সুখি হতে পারেন নি। নিঃসঙ্গ হয়েই পার করেছেন পুরোটা জীবন। 

গাউসের মৃত্যুর পর গটিনজেনে তার প্রতিকৃতি বানানো হয়। জার্মানের নোটে তার ছবি ছাপানো হয়। কিন্তু এই সম্মানটুকু যদি তিনি জীবিত অবস্থায় পেতেন তাহলে এতো নিষ্ঠুরতা দেখতে হতো না তাকে!

❝The enchanting charms of this sublime science reveal only to those who have the courage to go deeply into it.❞

                       – Carl Friedrich Gauss

পরিশিষ্টঃ 

স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফলঃ-

শূন্য এর চেয়ে বড়ো সব ধনাত্মক সংখ্যা যেগুলো ভগ্নাংশ না বা শূন্য এর চেয়ে বড়ো পূর্ণ ধণাত্মক সংখ্যাগুলোই স্বাভাবিক সংখ্যা। যেমনঃ  ১,২,৩,৪০০,৫৯,১০..

গাউস যে পদ্ধতিতে যোগফল বের করেছেন সে পদ্ধতিতে স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফলও বের করা যায়। কিন্তু তার জন্য যেটা মাথায় রাখতে হবে যেকোনো জায়গা থেকে সেই স্বাভাবিক সংখ্যার ধারা শুরু হতে পারবে না। সেটা ১ থেকে শুরু হতে হবে অর্থাৎ প্রথম থেকে যেকোনো সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল বের করার পদ্ধতি নিয়েই আলোচনা করবো। যেটাকে বলে প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি। (কেউ যদি চায় সে প্রথম থেকে ধারাটা শুরু করবে মাঝখান থেকে তাহলে সেটার যোগফল বের করার জন্য সমান্তর ধারার সমষ্টির সূত্র লাগবে। সেটা অন্য কোনো সময় বলা যাবে)। 

সূত্র মানে হলো কোনো একটা রাশিকে এমন একটা রূপ দেওয়া যেন সেটা যেকোনো ক্ষেত্রে সত্য হয়। এটাকে আমরা অভেদও বলি। আর কোনো রাশিকে অভেদের রূপ দিতে হলে বীজগাণিতিক রূপ দিতে হয়। তাই স্বাভাবিক সংখ্যার n সংখ্যক পদের যোগফলের সূত্র বের করার

জন্য ধারাটাকে প্রথমে বীজগাণিতিক রূপ দিতে হবে। যেহেতু এই ধারা ১ থেকে শুরু হবে অর্থাৎ প্রথম স্বাভাবিক সংখ্যা থেকে শুরু হবে তাই বীজগাণিতিক রূপেও প্রথম পদ হবে 1। যেহেতু আমরা যেকোনো সংখ্যক পদের(ইচ্ছে অনুযায়ী যতটুকু ইচ্ছা ততটুকু নিতে পারবো) যোগফল বের করা একটা General Form গঠন করব। তাই ধরে নেই শেষ পদটা হবে n। তাহলে General Form টা হবেঃ-

1+2+3+4+....+(n-2)+(n-1)+(n-1)

 স্বাভাবিক সংখ্যার ধারায় প্রতি পদের সাথে যেহেতু ১ যোগ হয়ে পরের পদটা গঠন করে। তাই সবার শেষে যে পদ থাকবে তার থেকে ১ বাদ দিলে শেষের পদের আগের পদ পাওয়া যাবে। এইটা বুঝলে সূত্রটা বোঝা কোনো সমস্যাই না। 

এখন আমরা শুধু গাউসকে অনুসরণ করবো। আমরা প্রথম পদ আর শেষ পদ, প্রথম থেকে দ্বিতীয় পদ আর শেষ থেকে দ্বিতীয় পদ এভাবে যোগ করি,

n+1

n-1+2=n+1

n-2+3=n+1

……….

এভাবে যোগ করতে থাকলে n÷2 টা n+1 পাওয়া যাবে। কেন n÷2 টা পদ হবে। কারণ দেখ স্বাভাবিক সংখ্যার ধারায় যেটা শেষ পদ হবে ধারাটার পদ কিন্তু সেই সংখ্যক হবে। আর প্রতিটা জোড়া জোড়া করে যোগ করার কারণে পরবর্তীতে কিন্তু ঠিক পদ সংখ্যার অর্ধেক পাওয়া যাবে। (কেন হাফ সংখ্যক পদ পাওয়া যাবে?  তা পাঠকের চিন্তার ওপর ছেড়ে দিলাম)

এখন যেহেতু n÷2 টা n+1 যোগ হবে তাই আমরা লিখতে পারি n÷2×(n+1)। 

আর স্বাভাবিক সংখ্যার n তম পদের সমষ্টির সুত্র  বা General Form হলো

n÷2(n+1)।

এটাকে পাটিগণিতের ভাষায় লিখলে হবে, 

(প্রথম পদ+ শেষ পদ)×(পদসংখ্যা÷২)।

তথ্যসূত্রঃ-

নিউরনে অনুরণন- মুহম্মদ জাফর ইকবাল,

মোহাম্মদ কায়কোবাদ 

গণিত আমাদের কি কাজে লাগে- সফিক ইসলাম